4 soal induksi matematika

soal selengkapnya silahkan ambil disini : download kalo mau


1.  Buktikan dengan metode induksi matematika bahwa bentuk
P(n)=1+3+5+7+…+(2n-1)=n² berlaku untuk setiap n angota bilangan asli.

Bukti:
akan dibuktikan bahwa P(n)=1+3+5+7+…+(2n-1)=n² berlaku untuk setiap n angota bilangan asli.

Langkah 1 (basis Induksi)
Untuk n=1 diperoleh p(1)= 1²=1. Jadi terbukti pernytaan benar untuk basis induksi

Langkah 2 (langkah Induksi)
Ambil sembarang k N. misalkan diasumsikan P(k) benar. Maka penjumlahan k bilangan ganjil pertama dapat dituliskan sebagai berikut:
P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k+1)=k²

Selanjutnya harus ditunjukan : P(k+1)=(K+1)². Bilangan ganjil yang berada pada urutan setelah (2k - 1) adalah (2(k+1) - 1) = 2k + 2 – 1 = 2k – 1 + 2 = 2k + 1
Sehingga dapat dituliskan: p(k+1) = [1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1)] + (2k +1)
Karena berdasarkan asumsi P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k+1)=k² maka diperoleh P(k+1)=(K+1)² + (2k + 1) = k² + 2k +1 = (k + 1) ²
Jadi telah ditunjukan jika p(k) benar, maka p(k+1) juga benar. Dengan terpenuhinya kedua langkah diatas, maka dapat dikatakan penjumlahan n bilangan ganjil yang pertama P(n)=1+3+5+7+…+(2n-1)=n² berlaku untuk setiap n angota bilangan asli.
Jadi kesimpulannya terbukti

2. 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²

untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :

q  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

      1 = 1² ® 1 = 1

q  Induksi : misalkan untuk n = k   asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k²

q  adib. Untuk n = k + 1 berlaku

1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)²

 

                        k ² + (2K + 1)             = (k + 1)²

                        k ² + 2K + 1                = k ² + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²

Untuk setiap bilangan bulat positif n